2023年 算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE トライアル


解答・解説
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算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 
問題2 ラッキーナンバー:3  223(10点)<614(11点)<615(12点)<435(15点)
問題3 128cm2
問題4 5
問題5 (1) イとキ  (2) イとク,オとキ,オとク  (3)(ア) 8 (イ) 9
問題6 ア 3  イ 3
問題7 最大値 110  最小値 11
問題8 426と142,855と285
問題9 1と1/8cm2
問題10 5.5

<解説>
問題1
説明のため、次のようにア〜サとします。

まず、オ+ケ=10 となることと、ク=1 となることがわかります。
ク=1 なので、「アイウ×6」の答えは1000以上2000未満となり、アは2か3であることがわかります。

また、アイウは最大でも399、エは最大でも9なので、アイウ×エは最大でも3591となり、オは3か2か1、ケは7か8か9であることもわかります。

次に、カとコに注目します。
「カ+コ」をしても上の位にくり上がっていないので、カ+コ=3 とわかります。
さらに、コは「6×ウ」の一の位なので絶対に偶数であることもあわせて考えると、(カ,コ)は(1,2)または(3,0)のどちらかになるとわかります。
もし、コ=0 だとすると、ウ=5 と決まり、さらに、イは3か8となります。
このとき、考えられるアイウの最大値は285で、クケ1コ=285×6=1710 なのでオに3が入ることとなりますが、「285×エ=313キ」を満たすようなエとキはありません。
よって、コ=0 ではなく、コ=2、カ=1 であることが決まります。

上記の通り、ケには7か8か9があてはまります。 1712、1812、1912のうち、6の倍数は1812のみなので、ケ=8、アイウ=1812÷6=302 と決まります。

「2023サ÷302」が割り切れるようなサを考えると、サ=4 のときに 20234÷302=67 となるので、この筆算が 302×67 の筆算であることがわかります。

問題2
説明のため、次のようにア〜サとします。


まず、すべてのカードの合計点について考えます。
ラッキーナンバーを考えなければ、すべてのカードの数の和は (1+2+3+4+5+6)×2=42(点) です。
また、サには最大で11、コには最大で10が入るので、コ+サ+12+15は最大で 10+11+12+15=48(点) です。
(48−42)÷2=3 より、ラッキーナンバーは3か2か1だとわかります。

次に、「4+ク+ケ」について考えます。
この点数は15点となっていますが、6はすでに2つとも使われているため、ラッキーナンバー無しではクとケに何を入れても15点にとどきません。
よって、クかケにはラッキーナンバーが入ります。

● ラッキーナンバーが1のとき
4+1×2+□=15 となり、□=9 で6以上なので不可です。

● ラッキーナンバーが2のとき
4+2×2+□=15 となり、□=7 で6以上なので不可です。

● ラッキーナンバーが3のとき
4+3×2+□=15 となり、□=5 です。

以上より、ラッキーナンバーは3と決まり、クとケには3と5があてはまります(順番は自由)。
また、ラッキーナンバーをふくめたすべてのカードの合計点が48点となるので、サが11、コが10であることも決まります。



エ、オ、カ、キにラッキーナンバーの3が入ると、そのカードは6点分なので11点や12点が作れません。
よって、残りのラッキーナンバーはア(イやウでも可)に入ります。

まだ使わずに残っているカードは、1、1、2、2、4、5です。
これらを使って条件を満たそうとすると、下のような入れ方に決まります。



問題3
問題の図にさらに正三角形をかき足すと図のようになります。


正十二角形の内角は 180−360÷12=150(度) なので、150−60=90(度) より、ピンクの四角形は1辺8cmの正方形になることがわかります。
よって、中央にできる緑の六角形は1辺8cmの正六角形だとわかります。

正六角形の向かい合う頂点どうしを結ぶと正三角形6個ができるので、ACの長さは 8×2=16(cm) です。
これは、正方形ABCDの対角線なので、正方形の面積は 16×16÷2=128(cm2) です。

問題4
611を素因数分解すると、611=13×47 となります。
よって、すべてのカードに書かれている数の和は 13+47=60 です。
1〜10の和は (1+10)×10÷2=55 なので、「?」に書かれている整数は 60−55=5 です。

問題5
(1)
ウ〜キの中から2枚選ぶと、どの2枚を選んでも最小公倍数が50以下になるので、条件にあてはまる整数が2個以上となります。
また、アとイを同時に選ぶことはできません。
以上より、ア・イから1枚、ウ〜キから1枚を選ぶことになります。

3の倍数の一の位は、3と10の最小公倍数が30なので、30ごとに同じものがあらわれます。
(例:3の倍数で一の位が4のものは、3×8=24,3×18=54,3×28=84)
同様に、4の倍数の一の位は、4と10の最小公倍数が20なので、20ごとに同じものがあらわれます。
5の倍数の一の位は、10ごとに同じものがあらわれます。
6の倍数の一の位は、30ごとに同じものがあらわれます。
7の倍数の一の位は、70ごとに同じものがあらわれます。
よって、1〜100で一の位が1個だけとなる可能性があるのは7の倍数だけです。
7の倍数を100まで書きならべると、
7,14,2,28,35,4,49,56,63,70,77,84,9,98
となって、1回だけあらわれるのは2なので、イとキを選んだことがわかります。

(2)
(1)より、どの条件を選ぶとしても一定の数ごとに同じものがあらわれる(つまり、周期がある)ことがわかります。
200÷4=50、200÷6=33余り2 より、考えられるのは1周期が34個以上49個以下となる組み合わせです。

● エ〜クから2枚選ぶ場合
最小公倍数が34以上49以下となるのは、オとキ、オとク、カとキです。
オとキ → 35,70,105,140,175 の5個
オとク → 40,80,120,160,200 の5個
カとキ → 42,84,126,168 の4個
よって、この中で条件を満たすのは(オとキ)(オとク)です。

● ア〜ウから1枚、エ〜クから1枚選ぶ場合
4の倍数 → 一の位は1〜20が周期なので不可
5の倍数 → 一の位は1〜10が周期なので不可
6の倍数 → 一の位は1〜30が周期なので不可
7の倍数 → 一の位は1〜70が周期なので不可
8の倍数 → 一の位は1〜40が周期なので可能性あり

8は偶数なので、ア、イ、ウのうち組み合わせられるのはイのみです。
8の倍数で一の位が2のものをならべると、32,72,112,152,192 の5個なので、条件を満たします。

以上より、答えは(イとク)、(オとキ)、(オとク)です。

(3)
2000÷22=90余り20、2000÷24=83余り8 より、1周期が84個以上90個以下になるような(ア)(イ)を探します。
(イ)に1〜9(6を除く)をあてはめたとき、一の位の周期は次のようになります。

イ=1 → 1と6の最小公倍数は6 → 一の位は1〜30が周期なので不可
イ=2 → 2と6の最小公倍数は6 → 一の位は1〜30が周期なので不可
イ=3 → 3と6の最小公倍数は6 → 一の位は1〜30が周期なので不可
イ=4 → 4と6の最小公倍数は12 → 一の位は1〜60が周期なので不可
イ=5 → 5と6の最小公倍数は30 → 一の位は1〜30が周期なので不可
イ=7 → 7と6の最小公倍数は42 → 一の位は1〜210が周期なので不可
イ=8 → 8と6の最小公倍数は24 → 一の位は1〜120が周期なので不可
イ=9 → 9と6の最小公倍数は18 → 一の位は1〜90が周期なので可能性あり

以上より、イにあてはまる数として考えられるのは9のみです。

2000÷90=22余り20、 2000−20=1980 より、1〜1980には、一の位が0,2,4,6,8となる18の倍数がそれぞれ22個ずつあります。
そして、1980をこえて2000以下となる18の倍数は 1980+18=1998 のみなので、1〜2000には、一の位が8となる18の倍数だけ23個あります。
よって、アにあてはまる数が8だとわかります。

問題6
まず、正八面体の性質について調べてみると、次の2つのことがわかります。
【性質1】正八面体は四角すいを2つくっつけた形と見ることができる。
【性質2】正八面体を、地面に着く正三角形がまっすぐならぶように3回転がすと、裏の面が出る


条件より、このさいころは向かい合う面の合計が9となるので、さいころの各面の数字は次のようになっています。

下図の黄色の四角すいのみに注目すると、アの場所では6が地面に着くことがわかります。
よって、アで上の面に現れる目は、9−6=3 です。


上図のイと青の場所で出る目の関係は【性質2】より表と裏の関係になるので、イで上の面に現れる目は、青の場所で地面に着く目と同じです。
また、青とアの場所で出る目の関係も【性質2】より表と裏の関係になるので、イで上の面に現れる目は、アで上の面に現れる目と同じ3だとわかります。

問題7
5けたの回文数を「ABCBA」と表すことにします。
これを少しだけ大きくして次に大きい回文数を作ろうとすると、Cを1だけ増やせばよいことがわかります。
よって、Cが0〜8のときは、次に大きい回文数は100だけ増えたものになります。
(例:47274−47174=100)

次に、Cが9の場合を考えます。
「AB9BA」の次に大きい回文数は、Bを1だけ増やし、Cを0とすればよいことがわかります。
よって、Bが0〜8でCが9のときは、次に大きい回文数は1010−900=110 だけ増えたものになります。
(例:48084−47974=110)

最後に、BとCが共に9の場合を考えます。
「A999A」の次に大きい回文数は、Aを1だけ増やし、BとCを0にすればよいことがわかります。
よって、BとCが9のときは、次に大きい回文数は10001−9990=11 だけ増えたものになります。
(例:50005−49994=11)

これ以外の場合は無いので、となり合う回文数の差の最大値は110、最小値は11です。

問題8
問題の条件より、A=アイウ、B=エアイ とすると、エアイ×3=アイウ です。

● イ=1のとき
エア1×3=ア1ウ なので、ウ=3で、3×アの一の位が1となりますが、アが7だと713÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=2のとき
エア2×3=ア2ウ なので、ウ=6で、3×アの一の位が2となります。条件にあてはまるアは4で、426÷3=142 となってすべての条件を満たします。
● イ=3のとき
エア3×3=ア3ウ なので、ウ=9で、3×アの一の位が3となりますが、アが1だと139÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=4のとき
エア4×3=ア4ウ なので、ウ=2で、3×アの一の位が3となりますが、アが1だと142÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=5のとき
エア5×3=ア5ウ なので、ウ=5で、3×アの一の位が4となります。条件にあてはまるアは8で、855÷3=285 となってすべての条件を満たします。
● イ=6のとき
エア6×3=ア6ウ なので、ウ=8で、3×アの一の位が5となりますが、アが5だと568÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=7のとき
エア7×3=ア7ウ なので、ウ=1で、3×アの一の位が5となりますが、アが5だと571÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=8のとき
エア8×3=ア8ウ なので、ウ=4で、3×アの一の位が6となりますが、アが2だと284÷3が割り切れないため、不可です。
● イ=9のとき
エア9×3=ア9ウ なので、ウ=7で、3×アの一の位が7となりますが、アが9だと997÷3が割り切れないため、不可です。

以上より、AとBの組み合わせとして考えられるのは「426と142」「855と285」の2通りです。

問題9
3cm2の直角三角形BCDと合同な三角形ABEを作るように線を引くと下図のようになります。


このとき、AEとDCは平行になるので、三角形ADCと三角形EDCの面積は等しく、5cm2です。
三角形BDCと三角形EDCの面積比は3:5で、どちらも高さが等しい三角形なので、BD:DE=3:5 です。
三角形ABDと三角形AEDも高さが等しい三角形なので、三角形ABDの面積は、3÷(3+5)×3=9/8(cm2) となります。

問題10
すべての「カタマリ」について、平均の小数点以下の値が同じということは、それら平均どうしの差はすべて整数になるということです。
図の色をつけた部分に注目してみます。

青線で囲んだ4つの○と赤線で囲んだ4つの○の平均の差は整数で、黄色の○は共通なので、ピンクの2つの○の差は4の倍数でなくてはいけません。
同じように考えると、下図のピンクの○どうし、青の○どうしはどこも差が4の倍数でなくてはいけません。


1〜10から、差が4の倍数となる3つの数の組を選ぼうとすると、(1と5と9)(2と6と10)の2組しかありません。
よって、上図のピンクや青の○にはこれら2組の数が入ります。
残っている数は3,4,7,8で、これらが図の矢印で示した列にあてはまることになるので、それらの平均は (3+4+7+8)÷4=5.5 です。

ジュニア算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 A 30  B 17
問題2 ラッキーナンバー:3  15(6点)<13(7点)<45(9点)<34(10点)
問題3 98cm2
問題4 1月4日,6月18日,7月15日,12月27日
問題5 
問題6 A
問題7 (1) 3  (2) 1
問題8 2回目 7  3回目 2
問題9 ア 26  イ 34  ウ 40
問題10 +,3

<解説>
問題1
611を素因数分解すると、611=13×47 となります。
よって、A+B=47、A−B=13 となるようなA、Bを求めればよいとわかります。
和差算の考え方を使うことにより、A=(47+13)÷2=30、B=(47−13)÷2=17 と求まります。

問題2
説明のため、次のようにア〜ケとします。


まず、ア、イ、キ、クに注目します。
クには9より小さい数、キには5より大きい数が入るので、キには6か7、クには7か8があてはまります。
もし、クが8だとすると、たとえ1やイがラッキーナンバーだったとしても、イにあてはまる数がありません。
もし、クが7だとすると、1がラッキーナンバーでイが5、または、3がラッキーナンバーでイが3であれば作れます。
しかし、1がラッキーナンバーだと、キを6点にすることができません。
よって、イには3があてはまり、ラッキーナンバーが3と決まります。
また、キには6しか入らないことがわかり、アは1と決まります。



次に、ウ、エに注目します。
ウ+エ=9 で、9は4+5でしか作れないので、ウとエには4と5があてはまります(順番は自由)。
(ラッキーナンバーの3を使おうとしても、9−3×2=3 となって作れません)

残りのカードは2,2,3,4です。このうちの2枚で10点以上を作るには、ラッキーナンバーの3を使って、3×2+4=10 とする以外にありません。
よって、オとカには3と4があてはまり(順番は自由)、ケは10と決まります。

問題3
「45°」が直角の半分であることに着目すると、下図のように線を引くことで、この正方形の対角線の長さが14cm(=7+1+2+3+1)であることがわかります。


よって、正方形の面積は、14×14÷2=98(cm2) です。

問題4
問題文の下3行からもわかるように、Aさんの□とBさんの□にあてはまる数の和は365になります。
そこで、2つの平方数の和が365になるような場合があるかどうかを調べます。
365以下の平方数を小さい方から順にすべて書き出すと、
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361
です。
これらから2つ選んだときの和が365となるのは、「4+361」「169+196」の2つです。

●Aさんの□が4のとき
今日の日付は1月4日とわかります。

●Aさんの□が169のとき
169=31+28+31+30+31+18 より、今日の日付は6月18日とわかります。

●Aさんの□が196のとき
196=31+28+31+30+31+30+15 より、今日の日付は7月15日とわかります。

●Aさんの□が361のとき
1年があと4日(12月31日、30日、29日、28日)残っていることになるので、今日の日付は12月27日とわかります。

問題5
次のようにア〜コとします。

赤のア+イ+ウ=11 です。また、青のエ+キ+ク=18、緑のカ+ケ+コ=17です。
1〜10の和は、(1+10)×10÷2=55 なので、オにあてはまる数が、55−(11+18+17)=9 とわかります。

イ+エ=13−9=4 で、4=1+3 なので、イとエには1か3があてはまります。
もし、エに1が入ると、キ+ク=17=7+10 となり、クには7か10があてはまりますが、どちらにしても オ(9)+ク+ケ=16 なので、ケにあてはまる数がありません。
よって、エ=3、イ=1です。



キ+ク=15=7+8=5+10 なので、クには5,7,8,10のいずれかがあてはまります。
ただし、ク+ケ=7 なので、クが7,8,10のときはケにあてはまる数がありません。
よって、ク=5、キ=10、ケ=2 と決まります。



まだ決まっていない数は4,6,7,8です。
ア+ウ=10 なので、アとウには4と6があてはまり、ウ+カ=11 なので、ウとカには4と7があてはまります。
よって、ア=6、ウ=4、カ=7 と決まり、残りの コ=8 も決まります。

問題6
まず、この立体Aがどんな形の立体なのかを考えます。
そのために、3×3×3の立方体と比べてみます。
3×3×3の立方体を上から1だん目、2だん目、3だん目と分けて、それぞれ小さい立方体があるとわかる場所に○、無いとわかる場所に×をつけると下図のようになります。


よって、この立体Aは下のような立体だとわかります。


次に、白色の立方体と灰色の立方体の場所を考えると下のようになるとわかります。


したがって、この立体を上から見た図はAとなります。

問題7
この規則で数を書いていくと次のようになります。
//13/1214/12131215/121121412131216/……

(1)
20番目は下線を引いた「3」です。

(2)
上の数列をよく見ると、奇数番目はすべて「1」となっているので、2023番目も「1」になりそうだと予想できます。
その予想が正しいかどうかを調べるため、上のように赤線で区切りを作っていきます。
2023=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024−25
より、2023番目の数字は、12個目の区切りの中の、最後の数字から左に向かってたどって26番目となることがわかります。
数列の青の部分を見ると、13,14,15,16,……と増えていくので、その先が20となるときに「奇数番目がすべて1になる」というきまりがくずれることがわかりますが、12個目の区切りの中できまりがくずれるのは区切りの最後から2番目だけなので、2023番目にはえいきょうが無いことがわかります。
よって、答えは1です。

【参考】
偶数番目が問われたときにどうすればよいかも考えてみます。

この数列は、区切りの良いところで区切ると 【ある数A】
/【A+1】/ となっています。
(例えば16番目までを前8つと後ろ8つで分けると「12131214
/12131215/」となっている)

よって、Aの一の位でくり上がらない限り、Aの一の位以外は前半分も後ろ半分も同じ数列になります。

例えば2022番目の数字を求めたいとしたら、
2022−1024=998 (2022番目は、2048番までの数列の後ろ半分の中の998番目なので、前半分の998番目と同じ数字)
998−512=486 (998番目は、1024番目までの数列の前半分の486番目と同じ数字)
486−256=230 (486番目は、512番目までの数列の前半分の230番目と同じ数字)
230−128=102 (230番目は、256番目までの数列の前半分の102番目と同じ数字)
102−64=38 (102番目は、128番目までの数列の前半分の38番目と同じ数字)
38−32=6 (38番目は、64番目までの数列の前半分の6番目と同じ数字)
よって、2022番目の数字は6番目の数字と同じで、2だとわかります。


問題8
1〜9の和は、(1+9)×9÷2=45 なので、3回目が終わったときのAさん、Bさん、Cさんそれぞれのカードの数の合計は、45÷3=15 です。
Cさんは「8のカードは渡さなかったよ」と言っていますが、もし、7か9のどちらかも渡していなかったとすると、2枚だけで和が15以上になってしまいます。
よって、Cさんは7と9のカードをAさんに渡しています。

また、Bさんは「9のカードはもらわなかったよ」と言っているので、9のカードは最後にAさんが持っていたとわかり、9と7の両方を一人で持つと15をこえるので、7はBさんにわたしていることがわかります。
ここまででわかったことを図にあらわすと、下のようになります。


Aさんは最後に9を持っていますが、1回目に9をもらってしまうと「途中で3枚のカードの数の合計が8になったよ」ということがありえなくなりますし、7を持ったままでも3枚の合計が8になることはありえないので、Aさんは1回目に7をもらって、2回目にその7をBさんに渡したときに合計が8になったとわかります。


Aさんのカードに注目すると、1+2+3−3+7−7+□=8 より、□=5 なので、Aさんは2回目に5をもらったことがわかります。


Aさんは2回目のやりとりが終わった時点で1,2,5を持っていて、次に9をもらうので、15−9=6 より、3回目はBさんに2を渡したことがわかり、答えが求まりました。
ちなみに、やりとり全体のようすは下のようになります。


問題9

まず、上のように線を引くことで、黄色の部分が4736−568×2=3600(cm2) とわかります。
3600=60×60なので、アとイの一辺の合計が60cmであることと、ウの一辺の長さが 100−60=40(cm)であることがわかります。

ア+イの面積は、60×40−568=1832(cm2)
もし、アもイも一辺が30cmだとすると、面積の和は 30×30×2=1800(cm2) です。
もし、アの一辺が29cm、イの一辺が31cmだとすると、面積の和は 29×29+31×31=1802(cm2) です。
もし、アの一辺が28cm、イの一辺が32cmだとすると、面積の和は 28×28+32×32=1804cm2) です。
もし、アの一辺が27cm、イの一辺が33cmだとすると、面積の和は 27×27+33×33=1818(cm2) です。
もし、アの一辺が26cm、イの一辺が34cmだとすると、面積の和は 26×26+34×34=1832(cm2) です。
よって、アの一辺は26cm、イの一辺は34cmです。

【参考】(調べずにアとイの値を求める方法)
アとイの正方形2つずつを下図のように組み合わせると、一辺60cmの正方形ができます。

1832×2−60×60=64(cm2) より、図の中央でイが重なってできる正方形の面積は64cm2なので、上のようにためさなくても、アとイが8cmちがいであることがわかります。
ア=(60−8)÷2=26(cm)  イ=(60+8)÷2=34(cm)


問題10
まず、押し忘れた場所によって答えの大きさがどのように変わるかを調べてみます。

★数字を2個押し忘れた場合
たす数が小さくなる場所ができるだけなので、計算結果が正しい答えよりもへることは明らかです。

★「+」を2個押し忘れた場合
例えば、「10+11」の+を押し忘れると、その部分が1011となります。
このように、+を1個押し忘れただけでも数がかなり大きく増えるので、+を2個押し忘れると正しい答えとの差が「339」よりも大きくなることは明らかです。

以上より、押し忘れた2個は、「+」を1個と、その前後にある数のうちの1個であることがわかります。

ここで、その押し忘れた+の前後を「AB+CD」としてみます。
ちなみに、「AB+CD」は、A×10+B+C×10+D と考えることができます。

■「A」と「+」を押し忘れた場合
AB+CD と BCD(=B×100+C×10+D) の差は、B×100+C×10+D−A×10−B−C×10−D=B×99−A×10 です。
B×99−A×10 のAとBにどんな1けたの数を入れても、答えを339にすることはできません。

■「B」と「+」を押し忘れた場合
AB+CD と ACD(=A×100+C×10+D) の差は、A×100+C×10+D−A×10−B−C×10−D=A×90−B です。
A×90−B のAとBにどんな1けたの数を入れても、答えを339にすることはできません。

■「C」と「+」を押し忘れた場合
AB+CD と ABD(=A×100+B×10+D) の差は、A×100+B×10+D−A×10−B−C×10−D=A×90+B×9−C×10 です。
A×90+B×9−C×10 のAが4、Bが1、Cが3のときに答えを339にすることができますが、「AB」が41のとき「CD」は42でなくてはいけないので、条件に合いません。

■「D」と「+」を押し忘れた場合
AB+CD と ABC(=A×100+B×10+C) の差は、A×100+B×10+C−A×10−B−C×10−D=A×90+B×9−C×9−D です。
A×90+B×9−C×9−D のAとCが4、Bが2、Dが3のときに答えを339にすることができ、「AB」が42、「CD」が43であるとわかります。

以上より、押し忘れたボタンは「+」と「3」です。

キッズBEE トライアル
<かいとう>
もんだい1 2と3の間の+、3と6の間の+
もんだい2 @ あ  A え  B う  C い
もんだい3 3まい
もんだい4 【問1】 2回転  【問2】 (お)
もんだい5 30こ
もんだい6 2・4・6
もんだい7 【問1】 6こ  【問2】 10こ
もんだい8 【問1】 C・B・A  【問2】 C・B・@ 【問3】 C・@・A  【問4】 B・@・A 

<かいせつ>
もんだい1
20+2+3+6+1+1=33 です。
33ー15=18 なので、+を−にかえて18へらせばよいとわかります。

たとえば、「+1」を「−1」にかえると答えは2だけへり、「+2」を「−2」にかえると答えは4だけへります。
このように、+と−にかえると、その数字の2倍だけへります。
18÷2=9 なので、合計が9になる「+3」と「+6」の+を−にかえればよいとわかります。

もんだい2
まずは「え」のシートに注目すると、「え」があてはまるのはAだとわかります。
次に「う」のシートに注目すると、「う」があてはまるのがBだとわかります。
すると、「あ」のシートを@、「い」のシートをCにあてはめればよいことがわかります。

もんだい3
図2に線を引き、同じ長さのところに同じ名前をつけてみると、下のようになります。

すると、黄色い長方形のまわりの長さは「アアイイ」で、赤の図形のまわりの長さは「アアイイウウウウ」なので、ウ4つ分が12cmだとわかります。
12÷4=3(cm)……ウの長さ
よって、図1の長方形は、たてもよこも3cmより長いことがわかります。

3より大きい数どうしのかけ算で24となるのは4×6しかないので、この長方形はたてとよこが4cmと6cmだとわかります。
つまり、図2をじっさいに作ると下のようになることがわかります。

よって、黄色い長方形は3まいのタイルでできています。

もんだい4
【問1】
下の図1のように目じるしをつけて、少しずつ考えてみます。

まず、青のしるしが重なるまで100円玉をころがすと、図2のように100円玉のもようがひっくりかえります。そして、緑のしるしが重なるようにころがすと図3のようになり、これで100円玉のもようが1回転します。
さらに、黄色のしるしが重なるようにころがすと図4、赤のしるしが重なるようにころがすと図5のようになるので、これで100円玉のもようが2回転することがわかります。


【問2】
問1を見ると、動かない100円玉のまわりを半分だけころがすと100円玉のもようが1回転することがわかります。
ここで、次の図のように線をひいてみます。

すると、AとDの部分では100円玉のもようが1回転することがわかります。

次に、BとCの部分で100円玉のもようがどうなるかを考えます。
Bの線の長さはAやDの線の長さの3分の1です。ですから、100円玉のもようも3分の1だけまわります。
Cのところでも100円玉のもようは3分の1だけまわるので、Cの先まで行ったところで100円玉のもようの向きは(お)になります。
Dの部分を進んでも、もようは1回転して向きはかわらないので、答えは(お)です。

もんだい5
お兄さんがたかしくんに6こあげると、お兄さんとたかしくんのキャンディが同じ数になるということは、下の図のように、お兄さんはたかしくんより12こ多くもらったということです。


お兄さんがたかしくんより12こ多くもっているときに、たかしくんがお兄さんに6こわたすと、下の図のように、お兄さんとたかしくんのちがいは6+12+6=24(こ) になります。


このときにお兄さんのキャンディの数がたかしくんの2倍になるということは、このときのたかしくんのキャンディは24こ、お兄さんのキャンディは24×2=48(こ) です。
よって、たかしくんがお母さんからもらったキャンディは、24+6=30(こ) です。

もんだい6
まず、3まいのカードをてきとうに決めて、どのような場合に自分のカードの数字がわかるのかを考えてみます。
<じっけん1>
たとえば、3まいのカードが1・3・4だとします。
1を持っている人は3と4のカードを見ます。3と4をたしたりひいたりしてできるのは1と7ですが、7はないので、自分のカードが1だとわかります。
3を持っている人は1と4のカードを見ます。1と4をたしたりひいたりしてできるのは3と5です。どちらのかのうせいもあるので、自分のカードが3か5か決まりません。
4を持っている人は1と3のカードを見ます。1と3をたしたりひいたりしてできるのは2と4です。どちらのかのうせいもあるので、自分のカードが2か4か決まりません。


<じっけん2>
たとえば、3まいのカードが2・3・5だとします。
2を持っている人は3と5のカードを見ます。3と5をたしたりひいたりしてできるのは2と8ですが、8はないので、自分のカードが2だとわかります。
3を持っている人は2と5のカードを見ます。2と5をたしたりひいたりしてできるのは3と7ですが、7はないので、自分のカードが3だとわかります。
5を持っている人は2と3のカードを見ます。2と3をたしたりひいたりしてできるのは1と5です。どちらのかのうせいもあるので、自分のカードが1か5か決まりません。


上のようにためすと、次のことがわかります。
@ 3人の数を「小」「中」「大」とするとき、「小」+「大」、「中」+「大」が6をこえると、「中」「小」を持っている人は自分のカードがわかる。
A 「大」を持っている人は、「中」−「小」の答えのカードになることがありえない、とわからないかぎり自分のカードが決まらない。

@を守ることができる(小,中,大)の組み合わせは、(1,5,6)(2,4,6)(2,3,5)の3つです。
このうち、Aも守ることができるのは(2,4,6)だけです。
よって、3人が持っているカードの数字は2、4、6です。

もんだい7

【問1】
左がわの図の半とうめいな部分に黄色い箱をおくと、赤い箱が完全にかくれます。
よって、6こです。

【問2】
右がわの図の半とうめいな部分に黄色い箱をおくと、赤い箱が完全にかくれます。
よって、10こです。

もんだい8
あいりちゃんがほしいのは、BかCです。
いつきくんがほしいのは、 @かBです。
うたちゃんがほしいのは、 @かAです。

【問1】
えいすけくんが@をえらんだので、いつきくんがB、うたちゃんがAをもらったことが決まり、あいりちゃんがのこりのCをもらったことがわかります。

【問2】
えいすけくんがAをえらんだので、うたちゃんが@をもらったことが決まり、それによって、いつきくんがBをもらったことが決まり、あいりちゃんがのこりのCをもらったことがわかります。

【問3】
えいすけくんがBをえらんだので、あいりちゃんがC、いつきくんが@をもらったことが決まり、うたちゃんがのこりのAをもらったことがわかります。

【問4】
えいすけくんがCをえらんだので、あいりちゃんがBをもらったことが決まり、それによって、いつきくんが@をもらったことが決まり、うたちゃんがのこりのAをもらったことがわかります。

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